如何用 C 语言画点阵图

1. 如何用 C 语言画这个图

1.1. 原问题

求大神这个图案怎么用 C 语言编写？

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我才不会给一个平凡解，给别人来交功课。希望可以用另类一些的方法去解决（至少不是老师要求的），可以让同学开拓一下思路。但这个原答案：

main(i){for(i=0;i<288;i++)printf(i%24-23?abs(i%24-11)*24>i|abs((i%24+i/72*3+3)%6-2)>i/24%3?"  ":"* ":"\n");}

是「压缩」后的结果，同学可能无法理解当中的意义。我尝试在本文简单解析一下。

1.2. 绘图框架

在计算机图形学中，要合成（synthesize）一个图像（image）时，通常有两种方法：

绘画每个形状，填充形状覆盖的像素。

对于图像中每个像素，采样（sample）该像素覆盖了什么形状。

第一种就是光栅化（rasterization）算法，第二种包括光线追踪（ray tracing）、光线步进（ray marching）等算法。

第二种做法可以理解为设计一个数学函数，例如二维的单色图像就可以定义为一个函数 $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]$。这种方式可以用较少的代码画出复杂的形状。如果要输出文本模式，只用两个符号表示图形，可用这个代码框架：

#include <stdio.h>

const int w = 20;
const int h = 20;

int f(int x, int y) {
    return /*...*/;
}

int main() {
     int x, y;
     for (y = 0; y < h; y++) {
         for (x = 0; x < w; x++)
             printf(f(x, y) ? "* " : "  ");
         puts("");
     }
}

例如，圆盘（disk）在数学上可定义为一个隐函数 $(x - c_x)^2 + (y - c_y)^2 \le r^2$，那么画一个置于画布中心 (10, 10)、半径 8 的圆盘只需要定义 $f(x, y)$ 为：

int f(int x, int y) {
    return (x - 10) * (x - 10) + (y - 10) * (y - 10) <= 8 * 8;
}

输出：

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1.2.1. 直角等腰三角形

先考虑半个三角形，可用 $x \le y$：

int f(int x, int y) {
    return x <= y;
}

设 w = 23, h = 12，那么输出是这样的：

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要画出题目中的大三角形，我们可以使用绝对值 $\lvert x - c_x\rvert \le y$，$c_x$ 表示对称轴的 $x$ 坐标：

int f(int x, int y) {
    return abs(x - 11) <= y;
}

输出：

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1.2.2. 密铺三角形

然后，我们考虑要画一些密铺三角形。首先，我们可把上面画三角形的功能写成一个函数：

int triangle(int x, int y) {
    return abs(x) <= y;
}

这个三角形的上顶点是位于 (0, 0) ，我们可以通过平移坐标来放置它在不同位置。另外，为了密辅，我们可用取模运算：

int f(int x, int y) {
    return triangle(x % 6 - 2, y % 3);
}

输出：

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但这种密辅和题目要求的有出入，我们要对每行三角形偏移半个三角形：

int f(int x, int y) {
    return triangle((x + y / 3 * 3 + 3) % 6 - 2, y % 3);
}

$y / 3$ 是三角形的行数，$y / 3 * 3$ 是对每行三角形偏移半个三角形（包括一个空白后三角形总宽是6），然后再偏移半个三角形。输出：

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可以看到中间的部分是我们所需的密铺三角形。

1.2.3. 交集

要结合上面的大三角形和密铺三角形，非常简单，只需用逻辑与就能实现两个图形的交集：

int f(int x, int y) {
    return triangle(x - 11, y) &&
           triangle((x + y / 3 * 3 + 3) % 6 - 2, y % 3);
}

这里我们重复地使用 triangle 去画这两种三角形，输出：

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到这一步，可算是大功告成。（唉⋯⋯几分钟能写完的算什么大功）

1.3. 压缩

1. 为了减少代码的字符，我们从两个 for 变成一个。然后置换 $x = i \% 24$, $y = i / 24$。

2. 把每行最后一个字符用作换行。所以宽度从 23 改为 24。

3. 因为 main 的第一个参数是 int，可用来声明那个 for 变量。

main(i) {
     for (i = 0; i < 24 * 12; i++)
         printf(i % 24 != 23 ? f(i % 24, i / 24) ? "* " : "  ":"\n");
}

4. 人手内联 triangle()。

int f(int x, int y) {
    return abs(x - 11) <= y &&
           abs((x + y / 3 * 3 + 3) % 6 - 2) <= y % 3;
}

5. 人手内联 $f()$。$i / 24 / 3$ 等价于 $i / 72$。

6. 移除所有非必要的空白符。

main(i){for(i=0;i<288;i++)printf(i%24!=23?abs(i%24-11)<=i/24&&abs((i%24+i/72*3+3)%6-2)<=i/24%3?"* ":"  ":"\n");}

7. 把 $\&\&$ 改成 $\&$，因去除了短路求值降低了性能，但省了一个字符。

8. $i \% 24 != 23$ 等价于 $i \% 24 - 23$，省了一个字符。

9. $abs(i \% 24 - 11) \le i / 24$ 可改成 $abs(i \% 24 - 11) * 24 \le i$，提高性能。

10. 把条件取反，交换后面的字符串，即 $\mathrm{cond ? a : b}$ 等价于 $\mathrm{!cond ? b : a}$。然后德摩根定律 $\mathrm{!(c \&\& d)}$ 等价于$\mathrm{(!c) || (!d)}$，所以$\le$ 变成 $>$，$\&$ 变成 $|$。省了 2 个字符。

main(i){for(i=0;i<288;i++)printf(i%24-23?abs(i%24-11)*24>i|abs((i%24+i/72*3+3)%6-2)>i/24%3?"  ":"* ":"\n");}

此文的前半步部分可了解一下思路，这个压缩部分纯粹娱乐，不要写这样的代码。

1.4. 相关问题

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编辑于 2016-11-16